Question

已知方程f（x）=x²+ax+2b的兩個(gè)根分別在（0，1），（1，2）內(nèi)，則a²+（b-4）²的取值范圍為_(kāi)_______．

Answer 1

分析：根據(jù)方程f（x）=x²+ax+2b的兩個(gè)根分別在（0，1），（1，2）內(nèi)，推出a、b的關(guān)系，利用線性規(guī)劃，得到ab的可行域，a²+（b-4）²的含義是可行域內(nèi)的點(diǎn)到（0，4）點(diǎn)距離的平方，求其范圍即可．
解答：拋物線f（x）=x²+ax+2b開(kāi)口向上
兩個(gè)根分別在（0，1），（1，2）內(nèi)，所以，
f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，即2b＞0，（a+2b+1）＜0，（2a+2b+4）＞0
所以，在同一直角aOb坐標(biāo)系里，畫(huà)出直線
b=0，a+2b+1=0，a+b+2=0
記b=0和a+2b+1=0的交點(diǎn)為A，a+2b+1=0和a+b+2=0的交點(diǎn)為Q，
b=0和a+b+2=0的交點(diǎn)為B
那么，A（-1，0），Q（-3，1），B（-2，0）
我們知道，b＞0，a+2b+1＜0，a+b+2＞0，就是三角形AQB．
a²+（b-4）²其實(shí)就是點(diǎn)P（0，4）到三角形區(qū)域的距離的平方
根據(jù)圖，我們知道，最小的距離是P垂直于AQ時(shí)的距離，這時(shí)候，最小距離d=；
最大距離是，PB=2，因?yàn)樵撊�角形的邊線不符合不等式條件！
所以，a²+（b-4）²的范圍是（ ，20）
故答案為：（ ，20）．
點(diǎn)評(píng)：這是不等式與根的分布相結(jié)合的問(wèn)題，主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，是難題．