若數(shù)列{an}滿足
a
2
n
-
a
2
n-1
=p
(p為常數(shù),n≥2,n∈N*),則稱數(shù)列{an}為等方差數(shù)列,p為公方差,已知正數(shù)等方差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,且a1,a2,a5成等比數(shù)列,a1≠a2,設(shè)集合A={Tn|Tn=
1
a1+a2
+
1
a2+a3
+…+
1
an+an+1
,1≤n≤100,n∈N*}
,取A的非空子集B,若B的元素都是整數(shù),則B為“完美子集”,那么集合A中的完美子集的個(gè)數(shù)為( 。
分析:根據(jù)正數(shù)等方差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,且a1,a2,a5成等比數(shù)列,a1≠a2,確定數(shù)列的通項(xiàng),利用裂項(xiàng)法求和,可得A中的整數(shù)元素為1,2,3,4,5,6,即可求得結(jié)論.
解答:解:設(shè)數(shù)列{an}為正數(shù)等方差數(shù)列,p為公方差,則
a
2
2
-
a
2
1
=p
,
a
2
3
-
a
2
2
=p
a
2
4
-
a
2
3
=p
,
a
2
5
-
a
2
4
=p

a
2
5
-
a
2
1
=4p

∵a1=1,∴a2=
1+p
,a5=
1+4p

∵a1,a2,a5成等比數(shù)列,
∴1+p=
1+4p

∴p=0或p=2
∵a1≠a2,∴p=2
∴an=
1+2(n-1)
=
2n-1

1
an+an+1
=
1
2n-1
+
2n+1
=
1
2
2n+1
-
2n-1

Tn=
1
a1+a2
+
1
a2+a3
+…+
1
an+an+1
=
1
2
2n+1
-1)
∴A中的整數(shù)元素為1,2,3,4,5,6
∵A的非空子集B,若B的元素都是整數(shù),
∴集合A中的完美子集的個(gè)數(shù)為26-1=63
故選B.
點(diǎn)評:本題考查新定義,考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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下列關(guān)于數(shù)列的命題中,正確的是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•煙臺二模)若數(shù)列{an}滿足an+12-
a
2
n
=d
(d為正常數(shù),n∈N+),則稱{an}為“等方差數(shù)列”.甲:數(shù)列{an}為等方差數(shù)列;乙:數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則甲是乙的(  )

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(2012•三明模擬)若數(shù)列{an}滿足a≤an≤b,其中a、b是常數(shù),則稱數(shù)列{an}為有界數(shù)列,a是數(shù)列{an}的下界,b是數(shù)列{an}的上界.現(xiàn)要在區(qū)間[-1,2)中取出20個(gè)數(shù)構(gòu)成有界數(shù)列{bn},并使數(shù)列{bn}有且僅有兩項(xiàng)差的絕對值小于
1
m
,那么正數(shù)m的最小取值是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013年福建省三明市高三質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

若數(shù)列{an}滿足a≤an≤b,其中a、b是常數(shù),則稱數(shù)列{an}為有界數(shù)列,a是數(shù)列{an}的下界,b是數(shù)列{an}的上界.現(xiàn)要在區(qū)間[-1,2)中取出20個(gè)數(shù)構(gòu)成有界數(shù)列{bn},并使數(shù)列{bn}有且僅有兩項(xiàng)差的絕對值小于,那么正數(shù)m的最小取值是( )
A.5
B.
C.7
D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年福建省三明市普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

若數(shù)列{an}滿足a≤an≤b,其中a、b是常數(shù),則稱數(shù)列{an}為有界數(shù)列,a是數(shù)列{an}的下界,b是數(shù)列{an}的上界.現(xiàn)要在區(qū)間[-1,2)中取出20個(gè)數(shù)構(gòu)成有界數(shù)列{bn},并使數(shù)列{bn}有且僅有兩項(xiàng)差的絕對值小于,那么正數(shù)m的最小取值是( )
A.5
B.
C.7
D.

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