Question

為豎立一塊廣告牌，要制造一三角形支架，形狀如圖．其中∠ACB=

π

3

，BC長度不小于1米，AC比AB長

1

2

米．為使廣告牌牢固，要求AC長度越短越好．
（1）記AC長度為y米，BC長度為x米，寫出y=f（x）的函數(shù)關(guān)系式．
（2）求AC的最短長度和此時(shí)BC長度．（精確到0.01）

Answer 1

分析：（1）在△ACB中，BC=x，AC=y，AB=y-

1

2

，利用余弦定理建立等式，即可確定函數(shù)關(guān)系式；
（2）換元，將函數(shù)化為y=t+

3

4t

+2，t＞0，再利用基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）在△ACB中，BC=x，AC=y，AB=y-

1

2

，利用余弦定理可得x2+y2-2xycos

π

3

=(y-

1

2

)2-----（3分）
∴x2+y2-xy=(y-

1

2

)2
∴y=

x2- 1 4

x-1

，(x＞1)-----（6分）
（2）令t=x-1＞0則，-----（8分）
∵y=t+

3

4t

+2≥2

t• 3 4t

+2（當(dāng)且僅當(dāng)t=

3

2

取得等號(hào)）------（11分）
綜上當(dāng)x=1+

3

2

≈1.87時(shí)，ymin=2+

3

=3.73------（13分）
答：當(dāng)BC=1.87米時(shí)，AC的最短長度為3.73米．-------（14分）

點(diǎn)評：本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用余弦定理建立等式關(guān)系．