Question

12．某衛(wèi)視的大型娛樂節(jié)目現(xiàn)場，所有參演的節(jié)目都由甲、乙、丙三名專業(yè)老師投票決定是否通過進(jìn)入下一輪，甲、乙、丙三名老師都有“通過”“待定”“淘汰”三類票各一張，每個節(jié)目投票時，甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任意一類票的概率均為$\frac{1}{3}$，且三人投票相互沒有影響，若投票結(jié)果中至少有兩張“通過”票，則該節(jié)目獲得“通過”，否則該節(jié)目不能獲得“通過”．
（I）求某節(jié)目的投票結(jié)果獲“通過”的概率；
（Ⅱ）記某節(jié)目投票結(jié)果中所含“通過”和“待定”票票數(shù)之和為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)“某節(jié)目的投票結(jié)果獲“通過”為事件A，則事件A包含該節(jié)目獲2張“通過票”或該節(jié)目獲3張“通過票”，由甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任意一類票的概率為$\frac{1}{3}$，
且三人投票相互沒有影響，能求出某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲“通過”的概率．
（Ⅱ）所含“通過”和“待定”票票數(shù)之和X的所有取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)“某節(jié)目的投票結(jié)果獲“通過”為事件A，
則事件A包含該節(jié)目獲2張“通過票”或該節(jié)目獲3張“通過票”，
∵甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任意一類票的概率為$\frac{1}{3}$，
且三人投票相互沒有影響，
∴某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲“通過”的概率為：$P（A）=C_3^2{（{\frac{1}{3}}）^2}（{\frac{2}{3}}）+C_3^3{（{\frac{1}{3}}）^3}=\frac{7}{27}$．…（4分）
（Ⅱ）所含“通過”和“待定”票票數(shù)之和X的所有取值為0，1，2，3，
$P（{X=0}）=C_3^0{（{\frac{1}{3}}）^3}=\frac{1}{27}$，
$P（{X=1}）=C_3^1（{\frac{2}{3}}）{（{\frac{1}{3}}）^2}=\frac{6}{27}$，
$P（{x=2}）=C_3^2{（{\frac{2}{3}}）^2}（{\frac{1}{3}}）=\frac{12}{27}$，
$P（{X=3}）=C_3^3{（{\frac{2}{3}}）^3}=\frac{8}{27}$，…（8分）
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

$EX=0×\frac{1}{27}+1×\frac{2}{9}+2×\frac{4}{9}+3×\frac{8}{27}=2$．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．