Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）（n∈N^*）均在函數(shù)y=3x-2的圖象上．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）T_n是數(shù)列{$\frac{3}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$}的前n項和，求使T_n＜$\frac{m}{20}$對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析 （1）：將點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得到S_n=3n²-2n，再由a_n=S_n-S_n-1求得a_n解析式；
（2）：寫出數(shù)列{$\frac{3}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$}的通項公式，利用拆項法求得前n項和，根據(jù)不等式關(guān)系，求得m的值

解答 （1）證明：點（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$），（n∈N^*）均在函數(shù)y=3x-2的圖象上．
那么$\frac{{S}_{n}}{n}$=3n-2
∴S_n=3n²-2n
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=3-2=1
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1
=3n²-2n-3（n-1）²+2（n-1）
=6n-5；
當(dāng)n=1時滿足，
∴a_n=6n-5
∴a_n是以1首項，以6為公比的等差數(shù)列a_n
（2）設(shè)$_{n}=\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
則$_{n}=\frac{3}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}）$
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{13}+…+\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}）$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{6n+1}）$
因此使$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{6\\;n+1}）＜\frac{m}{20}$$（\\;n∈N*）$成立的m，必須滿足$\frac{1}{2}≤\frac{\\;m}{20}$，
即m≥10，
所以，滿足要求的最小正整數(shù)m為10．

點評 本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，用拆項法求數(shù)列前n項和以及數(shù)列與不等式綜合應(yīng)用問題，屬于中檔題．