Question

2．如圖，在中心角為60°，半徑為1的扇形OAB的半徑OB上任取一點M，作內接矩形MNPQ，設∠QOA=θ，矩形MNPQ的面積為S．
（1）求S關于θ的函數解析式；
（2）求S的最大值；
（3）如果分別在OA，OB上任取一點C、D，使OC=OD，按如圖方式作扇形的內接矩形CDEF，設該矩形的面積為S′，問S′的最大值與S的最大值，哪一個更大，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△QOP中，利用直角三角形中的邊角關系求得矩形的底和高，可得關于矩形的面積S的解析式，化簡可得結果．
（2）由S的解析式并利用正弦函數的定義域有何值域可得，當2θ+30°=90°面積S取得最大值．
（3）割一半的內角為30°半徑為1的扇形，內接矩形與（1）（2）相同．

解答 解：（1）在Rt△QOP中，QP=MN=sinθ，OP=cosθ．
在Rt△ONM中，ON=$\frac{MN}{tan\frac{π}{3}}$=$\frac{sinθ}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$sinθ，
∴NP=OP-ON=cosθ-$\sqrt{3}$sinθ，
則矩形的面積S=f（θ）=NP•PQ=sinθ（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ）=sinθcosθ-$\sqrt{3}$sin²θ，
=$\frac{1}{2}$sin2θ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-cos2θ）
=$\frac{1}{2}$sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{6}$cos2θ-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，（0＜θ＜$\frac{π}{3}$）．
（2））∵0＜θ＜$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$＜2θ+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
當2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{6}$時，S_最大=$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
因此，當α=$\frac{π}{6}$時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
（3）割一半的內角為30°半徑為1的扇形，內接矩形與（1）（2）相同，
PE=sinθ，OP=cosθ，ON=$\sqrt{3}$sinθ，
∴PN=cosθ-$\sqrt{3}$sinθ，
∴$\frac{1}{2}$S′=PN•PE=sinθ（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ）=$\frac{1}{2}$sin2θ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-cos2θ），
=$\frac{1}{2}$sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
=sin（2θ+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
sin（2θ+$\frac{π}{3}$）≤1，
$\frac{1}{2}$S′≤1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
S′≤2-$\sqrt{3}$＜$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴前者最大值更大．

點評 本題考查在實際問題中建立三角函數模型，求解問題的關鍵是根據圖形建立起三角模型，將三角模型用所學的恒等式變換公式進行化簡，屬于中檔題．