Question

11．已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且csinA+acos（C+$\frac{π}{6}$）=0．
（1）求角C；
（2）若c=$\sqrt{2}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡已知式子結(jié)合三角形內(nèi)角范圍和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得C=$\frac{2π}{3}$；
（2）由余弦定理和基本不等式可得ab≤$\frac{2}{3}$，整體代入三角形的面積公式，由不等式性質(zhì)可得．

解答 解：（1）∵△ABC中csinA+acos（C+$\frac{π}{6}$）=0，
∴由正弦定理可得sinCsinA+sinAcos（C+$\frac{π}{6}$）=0，
∴sinCsinA+sinA（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC-$\frac{1}{2}$sinC）=0，
∴sinCsinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinAcosC-$\frac{1}{2}$sinAsinC=0，
∴$\frac{1}{2}$sinCsinA=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinAcosC，
約掉sinA變形可tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=-$\sqrt{3}$
∴角C=$\frac{2π}{3}$；
（2）由c=$\sqrt{2}$和余弦定理可得2=a²+b²-2abcos$\frac{2π}{3}$，
∴2=a²+b²+ab≥2ab+ab=3ab，解得ab≤$\frac{2}{3}$
∴△ABC面積S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{\sqrt{6}}{3}$時(shí)取等號(hào)，
故三角形面積的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正余弦定理解三角形，涉及基本不等式和三角形的面積公式，屬中檔題．