Question

已知a＞2，f（x）=x-alnx-

a-1

x

，g（x）=

1

2

x2+ex-xex．（注：e是自然對數(shù)的底）
（1）當a=1時，求f（x）的極值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若存在x1∈[e，e2]，使得對任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）a=1時求導f′（x），然后令f′（x）=0，得x=1．再判斷x=1左右兩側(cè)導數(shù)符號，根據(jù)極值的定義可作出判斷；
（2）易求定義域，求導f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得單調(diào)增區(qū)間、減區(qū)間，注意a＞2；
（3）存在x₁∈[e，e²]，使得對任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，等價于對任意x₁∈[e，e²]及x₂∈[-2，0]，f（x）_min＜g（x）_min，由（2）據(jù)f（x）單調(diào)性可求得f（x）_min，利用導數(shù)可求得g（x）_min；

解答： 解：（1）由a=1得，f（x）=x-lnx（x＞0），∴f′（x）=1-

1

x

；
令f′（x）=0，得x=1．
當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）的極小值為f（1）=1，無極大值．
（2）由題意可得f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=1-

a

x

+

a-1

x2

=

(x-1)[x-(a-1)]

x2

，
∵a＞2，∴a-1＞1．
由f′（x）＞0，得0＜x＜1或x＞a-1，由f′（x）＜0，得1＜x＜a-1，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1），（a-1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（1，a-1）；
（3）由題意，存在x₁∈[e，e²]，使得對任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，等價于對任意x₁∈[e，e²]及x₂∈[-2，0]，f（x）_min＜g（x）_min，
由（2），當a＞2，x₁∈[e，e²]時，f（x）是增函數(shù)，f（x）_min=f（e）=e-a-

a-1

e

，
∵g′（x）=x（1-e^x），對任意的x₂∈[-2，0]，g′（x）≤0，
∴g（x）是減函數(shù)，∴g（x）_min=g（0）=1．
∴e-a-

a-1

e

＜1，
∴a＞

e2-e+1

e+1

，
又∵a＞2，
∴a＞2．

點評：該題以函數(shù)為載體，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值、單調(diào)性，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力．