Question

1．如圖所示，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1的上頂點(diǎn)為A，直線y=-4交橢圓于點(diǎn)B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）點(diǎn)P在橢圓上，若四邊形ABCP為梯形，求：
（1）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）直線CP的方程；
（3）梯形ABCP的面積．

Answer 1

分析 （1）求得橢圓的a，b，c，即可得到所求焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求得A，B，C的坐標(biāo)和AB的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，可得CP的方程；
（3）將CP的方程代入橢圓方程，求得P的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，運(yùn)用梯形的面積公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）橢圓$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1的a=10，b=5，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±5$\sqrt{3}$，0）；
（2）由題意可得A（0，5），
令y=-4，代入橢圓方程x²+4y²=100，可得x=±6，
即有B（-6，-4），C（6，-4），
由AB∥CP，k_AB=$\frac{3}{2}$，可得直線CP的方程為y+4=$\frac{3}{2}$（x-6），
即為y=$\frac{3}{2}$x-13；
（3）由y=$\frac{3}{2}$x-13，代入橢圓方程x²+4y²=100，可得
5x²-78x+288=0，
解得x=6或$\frac{48}{5}$，
可得P（$\frac{48}{5}$，$\frac{7}{5}$），
即有|AB|=3$\sqrt{13}$，|CP|=$\sqrt{\frac{1{8}^{2}}{25}+\frac{2{7}^{2}}{25}}$=$\frac{9\sqrt{13}}{5}$，
點(diǎn)A到直線CP的距離為d=$\frac{|0-5-13|}{\sqrt{1+\frac{9}{4}}}$=$\frac{36}{\sqrt{13}}$，
則梯形ABCP的面積為$\frac{1}{2}$•$\frac{36}{\sqrt{13}}$•（3$\sqrt{13}$+$\frac{9\sqrt{13}}{5}$）
=$\frac{432}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程的運(yùn)用，以及直線和橢圓方程聯(lián)立，解交點(diǎn)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．