【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+3在x=2時取得最小值,且函數(shù)f(x)的圖象在x軸上截得的線段長為2.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣mx的一個零點在區(qū)間(0,2)上,另一個零點在區(qū)間(2,3)上,求實數(shù)m的取值范圍.
(3)當x∈[t,t+1]時,函數(shù)f(x)的最小值為﹣ ,求實數(shù)t的值.

【答案】
(1)解:因為二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+3在x=2時取得最小值,

所以 =2,即b=﹣4a,

所以f(x)=ax2﹣4ax+3,

設函數(shù)f(x)的圖象在x軸上的兩個交點分別為(x1,0),(x2,0),

所以|x1﹣x2|= ﹣2,

所以a=1.

所以f(x)=x2﹣4x+3


(2)解:g(x)=f(x)﹣mx=x2﹣(m+4)x+3

因為函數(shù)g(x)的一個零點在區(qū)間(0,2)上,另一個零點在區(qū)間(2,3)上.

所以

所以﹣ <a<0


(3)解:由(1)知,f(x)=x2﹣4x+3的對稱軸是x=2,

①當t+1≤2時,即t≤1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上是單調(diào)減函數(shù),

所以當x=t+1時,函數(shù)取最小值t2﹣2t= ,

解得:t=1﹣

②當t<2<t+1時,即1<t<2時,

當x=2時,函數(shù)取最小值﹣1≠ ,

③當t≥2時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上是單調(diào)增函數(shù),

所以當x=t時,函數(shù)取最小值t2﹣4t+3= ,

解得:t=2+

綜合上所述,t=1﹣ 或t=2+


【解析】(1)由已知中二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+3在x=2時取得最小值,且函數(shù)f(x)的圖象在x軸上截得的線段長為2.求出a,b值,可得函數(shù)f(x)的解析式;(2)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣mx的一個零點在區(qū)間(0,2)上,另一個零點在區(qū)間(2,3)上,則 ,解得實數(shù)m的取值范圍.(3)由(1)知,f(x)=x2﹣4x+3的對稱軸是x=2,分析給定區(qū)間與對稱的位置關系,結合當x∈[t,t+1]時,函數(shù)f(x)的最小值為﹣ ,分類討論,可得實數(shù)t的值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的性質(zhì)的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握當時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知二項式( n展開式中的各項系數(shù)的絕對值之和為128.
(1)求展開式中系數(shù)最大的項;
(2)求展開式中所有的有理項.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】近年來空氣質(zhì)量逐步惡化,霧霾天氣現(xiàn)象增多,大氣污染危害加重,大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病.為了解心肺疾病是否與性別有關,在市第一人民醫(yī)院隨機對入院50人進行了問卷調(diào)查,得到如下的列聯(lián)表:

患心肺疾病

不患心肺疾病

合計

20

5

25

10

15

25

合計

30

20

50

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(1)是否有99.5%的把握認為患心肺疾病與性別有關?說明你的理由;(2)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患有胃病,現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中,選出3位進行其他方面的排查,其中患胃病的人數(shù)為,求的分布列、數(shù)學期望.參考公式:,其中

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】選修44:坐標系與參數(shù)方程

在極坐標系中,點O(0,0), .

(1)求以為直徑的圓的直角坐標方程;

(2)若直線的極坐標方程為,判斷直線與圓的位置關系.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),設關于的方程個不同的實數(shù)解,則的所有可能的值為(

A. 3 B. 13 C. 46 D. 346

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=(m2+2m) ,當m為何值時f(x)是:
(1)正比例函數(shù)?
(2)反比例函數(shù)?
(3)二次函數(shù)?
(4)冪函數(shù)?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是(
A.f(x)=x﹣1,g(x)= ﹣1
B.f(x)=|x|,g(x)=( 2
C.f(x)=x,g(x)=
D.f(x)=2x,g(x)=

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設函數(shù)f(x)=|x-a| .
(1)當 a=2 時,解不等式 ;
(2)若 的解集為[0,2] , ,求證:

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】己知:f(x)=(2-x)+a(x-1)2 (a∈R)

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間:

(2)若對任意的x∈R,都有f(x)≤2,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案