精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知函數f(x)=
x+ax2+bx+1
是奇函數，
（1）求實數a和b的值；
（2）判斷函數y=f（x）在（1，+∞）的單調性，并利用定義加以證明．
分析：（1）由題意可得f（0）=0，從而可求得a，又f（x）是奇函數，可求得b；
（2）由函數單調性的定義判斷即可．任取x1，x2∈（1，+∞），設x1＜x2，作差f（x1）-f（x2）后化積，判斷符號即可．
解答：解：（1）∵f（x）=
x+a
x2+bx+1
是奇函數，
∴f（0）=
0+a
02+0•x+1
=0，
∴a=0；…（2分）
又因f（-x）=-f（x），即
-x
(-x)2+b(-x)+1
=-
x
x2+bx+1
，
∴b=0…（4分）
（2）函數y=f（x）在（1，+∞）單調遞減…．（6分）
證明：任取x1，x2∈（1，+∞），設x1＜x2，
則f(x1)-f(x2)=
x1
x12+1
-
x2
x22+1
=
x1x22+x1-x12x2+x2
(x12+1)(x22+1)

=
(x1-x2)(1-x1x2)
(x12+1)(x22+1)
，…（8分）
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0；
∵x1＞1，x2＞1，
∴1-x1x2＜0
∴f（x1）-f（x2）＞0，
∴f（x1）＞f（x2）…（10分）
函數y=f（x）在（1，+∞）單調遞減…（12分）
點評：本題考查函數的奇偶性與單調性的應用，著重考查函數的奇偶性與單調性的定義的應用，突出轉化思想的考查，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數學理科試題 題型：022

已知函數f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數”．已知函數f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數”，則k的值是_________．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數，g（x）是奇函數，則f（x）+g（x）是奇函數
B．f（x）是偶函數，g（x）是偶函數，則f（x）+g（x）是偶函數
C．f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，則f（x）+g（x）一定是奇函數或偶函數
D．f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，則f（x）+g（x）可以是奇函數或偶函數

查看答案和解析>>

同步練習冊答案