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4.已知函數(shù)f(x)=2sinωxcosωx-23cos2ωx相鄰對稱軸之間的距離為\frac{π}{2},則下列結(jié)論中錯誤的是( �。�
A.f(x)在區(qū)間(0,\frac{π}{4})上單調(diào)遞增
B.f(x)的一個對稱中心為(\frac{π}{6},-\sqrt{3}
C.當x∈[0,\frac{π}{2}]時,f(x)的值域為[-2\sqrt{3},0]
D.將f(x)的縱坐標不變,橫坐標縮短為原來的\frac{1}{2},再向左平移\frac{π}{6}個單位后得到y(tǒng)=2sin(4x+\frac{π}{3})-\sqrt{3}

分析 利用二倍角公式及輔助角公式對函數(shù)化簡,根據(jù)周期公式求ω的值,從而可求f(x)的表達式,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)分別對各個選項判斷即可.

解答 解:f(x)=sin2ωx-\sqrt{3}cos2ωx-\sqrt{3}=2sin(2ωx-\frac{π}{3})-\sqrt{3}
因為\frac{T}{2}=\frac{π}{2},所以T=π,ω=1.
所以f(x)=2sin(2x-\frac{π}{3})-\sqrt{3},
對于A,由-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}\frac{π}{2}+2kπ,
得:-\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{5π}{12}+kπ,
∴f(x)在區(qū)間(0,\frac{π}{4})上單調(diào)遞增,故A正確,
對于B,由2x-\frac{π}{3}=kπ,得:x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6},
x=\frac{π}{6}時,y=-\sqrt{3}
故f(x)的一個對稱中心為(\frac{π}{6},-\sqrt{3}),故B正確,
對于C,當x∈[0,\frac{π}{2}]時,2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3},\frac{2π}{3}],
x=\frac{5}{12}π時,f(x)最大,最大值是2-\sqrt{3},
x=\frac{2}{3}π時,f(x)最小,最小值是-2-\sqrt{3},
f(x)的值域為[-2-\sqrt{3},2-\sqrt{3}],故C錯誤,
對于D,將f(x)的縱坐標不變,橫坐標縮短為原來的\frac{1}{2},再向左平移\frac{π}{6}個單位后得到y(tǒng)=2sin(4x+\frac{π}{3})-\sqrt{3},故D正確,
故選:C.

點評 本題主要考查了二倍角公式、輔助角公式把不同名的三角函數(shù)含為一個角的三角函數(shù),進而研究三角函數(shù)的性質(zhì):周期性及周期公式,函數(shù)的最值的求解.

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