Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前11項和為220．
（1）數(shù)列中是否存在某一項的值為常數(shù)？若存在，請求出該項的值；若不存在，請說明理由；
（2）若{a_n}中a₂=8，設(shè)b_n=3ⁿ求數(shù)列{b_n}的前n項的積
（3）若從數(shù)列{a_n}中依次取出第3項，第9項，第27項，…，第3ⁿ項，按從小到大的順序組成一個新的數(shù)列{c_n}，求數(shù)列c_n的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為等差數(shù)列{a_n}的前11項和為220，列出關(guān)于首項和公差的等式，整理出數(shù)列的一項存在．
（2）根據(jù)所給的數(shù)列中的項求出數(shù)列的首項和公差，寫出數(shù)列的通項，構(gòu)造新數(shù)列，求出數(shù)列的項的積．
（3）根據(jù)題意知道新數(shù)列也是一個等差數(shù)列，表示出數(shù)列通項，寫出數(shù)列的和，注意分組求和

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為等差數(shù)列{a_n}的前11項和為220，
所以220=11a1+

11×(11-1)

2

×d；
∴a1+5d=20且a ₆=20
（2）由a₂=8所以a₁+d=8 a ₁=5，d=3，
∴an=5+（n-1）×3=3n+2，
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項的積為T
∴Tn=33×2+2．.33×n+2=33(1+2+3++n)+2n=3

3n2+7n

2

（3）依題意得c_n=5+（3k+1）×3=3×3k+2
∴Sn=3(31+32++3n)+2n=3•

3(1-3n)

1-3

+2n=

9

2

(3n-1)+2n

點評：本題考查數(shù)列的基本量的運算，解題的關(guān)鍵是看清數(shù)列的特點，注意應用數(shù)列的性質(zhì)，本題是一個基礎(chǔ)題．