Question

6．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩焦點為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓C上一點，且PF₂⊥x軸，若△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑r=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{2}$，則橢圓C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由已知利用橢圓性質(zhì)推導(dǎo)出$\frac{\frac{^{2}}{a}+2c-（2a-\frac{^{2}}{a}）}{2}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{2}$，由此能求出橢圓C的離心率．

解答 解：∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩焦點為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓C上一點，且PF₂⊥x軸，
∴|F₁F₂|=2c，|PF₂|=$\frac{^{2}}{a}$，|PF₁|=$2a-\frac{^{2}}{a}$，
∵△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑r=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{2}$，
∴$\frac{\frac{^{2}}{a}+2c-（2a-\frac{^{2}}{a}）}{2}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{2}$，
整理，得a=2c，
∴橢圓C的離心率為e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．