Question

△ABC中，設(shè)a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，角A的平分線(xiàn)AD交BC邊于D，A=60°．
（1）求證：AD=

3 bc

b+c

；
（2）若

BD

=2

DC

，AD=4

3

，求其三邊a、b、c的值．

Answer 1

分析：（1）將△ABC分成△ABD和△ACD，可得S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD．由三角形的面積公式建立等式并化簡(jiǎn)整理，即可得到所求證的等式成立．
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角平分線(xiàn)定理，結(jié)合題意得到c=2b．由（1）中證出的等式，可得bc=4（b+c），兩式聯(lián)立解得到b=6，c=12．最后由余弦定理a²=b²+c²-2bccosB的式子算出邊a的長(zhǎng)，即可得到三邊a、b、c的值．

解答：解：（1）根據(jù)題意，可得
S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD
由三角形的面積公式，得

1

2

•b•csin60°=

1

2

•c•AD•sin30°+

1

2

b•AD•sin30°
化簡(jiǎn)整理，可得AD=

3 bc

b+c

．
（2）∵AD為三角形ABC的角平分線(xiàn)，且

BD

=2

DC

，
∴

c

b

=

|BD|

|DC|

=2，可得c=2b----①
又∵由（1）的結(jié)論，得AD=4

3

=

3 bc

b+c

，
∴bc=4（b+c），----②
由①②聯(lián)解，可得b=6，c=12
在△ABC中，由余弦定理得：
a²=b²+c²-2bccosB=62+122-2×6×12×

1

2

=108，可得a=6

3

（舍負(fù)）
綜上所述，三角形三邊a、b、c的值分別為a=6

3

，b=6，c=12．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的角平分線(xiàn)，在已知角A的大小情況下解三角形．著重考查了三角形的面積公式、向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則和正余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．