Question

已知橢圓E₁：

x2

10

+

2y2

5

=1 E₂：

x2

a2

+

2y2

b2

=1(a＞b＞0)．E₁與E₂有相同的離心率，過點F（-

3

，0）的直線l與E₁，E₂依次交于A，C，D，B四點（如圖）．當直線l過E₂的上頂點時，直線l的傾斜角為

π

6

．
（1）求橢圓E₂的方程；
（2）求證：|AC|=|DB|；
（3）若|AC|=1，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據當直線l過E₂的上頂點時，直線l的傾斜角為

π

6

，且橢圓的離心率是

c

a

=

3

2

，建立方程，即可求得橢圓E₂的方程；
（2）當直線l垂直x軸時，易求得|AC|=|DB|．當直線l不垂直x軸時，設l：y=k（x-

3

），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系得出x₁+x₂=x₃+x₄從而有|AC|=|DB|．
（3）由（2）知，|AC|=|CD|+2，先分類討論：當直線l垂直x軸時，不合要求；當直線l不垂直x軸時，設l：y=k（x-

3

），由（2）知，x₁+x₂=x₃+x₄，x₁x₂，x₃x₄，利用弦長公式即可得關于k的方程，從而解決問題．

解答：解：（1）∵b=1，

c

a

=

3

2

，∴a=2，b=1，
因此橢圓E₂的方程為

1

4

x²+y²=1．
（2）當直線l垂直x軸時，易求得A（-

3

，-

7

2

），C（-

3

，-

1

2

），D（-

3

，

1

2

），B（-

3

，

7

2

）
因此|AC|=|DB|．
當直線l不垂直x軸時，設l：y=k（x-

3

）
由

y=k(x- 3 ) x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+8

3

k²x+12k²-4=0     ①，
由

y=k(x- 3 ) x2 10 + 2 5 y2=1

得（1+4k²）x²+8

3

k²x+12k²-10=0   ②，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則x₃、x₄是方程①的解，
x₁、x₂是方程②的解．∵x₁+x₂=x₃+x₄=

-8 3 k2

1+4k2

，
線段AB，CD的中點重合，∴|AC|=|DB|．
（3）．由（2）知，|AC|=|CD|+2，
當直線l垂直x軸時，不合要求；
當直線l不垂直x軸時，設l：y=k（x-

3

），由（2）知，
x₁+x₂=x₃+x₄=

-8 3 k2

1+4k2

，x₁x₂=

12k2-10

1+4k2

，
x₃x₄=

12k2-4

1+4k2

，|CD|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4k2+4

1+4k2

，
|AB|=

(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]

=

8(1+k2)(14k2+5)

1+4k2

，
∴

4k2+4

1+4k2

+2=

8(1+k2)(14k2+5)

1+4k2

，
化簡可得：8k⁴-2k²-1=（4k²+1）（2k²-1）=0，
∴k=±

2

2

，
∴l(xiāng)：y=±

2

2

（x+

3

）．

點評：本題考查橢圓與橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，正確運用韋達定理是關鍵．