Question

5．若定義在R上的可導函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且對?x∈[0，+∞），f'（x）＞0恒成立．如果實數(shù)t滿足不等式f（lnt）-f（ln$\frac{1}{t}$）＜2f（1），則t的取值范圍是（0，e）．

Answer 1

分析 先根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性性化簡不等式，然后利用函數(shù)是奇函數(shù)得到不等式f（lnt）＜f（1）即lnt＜（1），解得即可．

解答 解：∵對?x∈[0，+∞），f'（x）＞0恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）為增函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x）在R上為增函數(shù)，
∴f（lnt）-f（ln$\frac{1}{t}$）=f（lnt）-f（-lnt）=f（lnt）+f（lnt）=2f（lnt），
∴不等式等價為2f（lnt）＜2f（1），
即f（lnt）＜f（1）．
∴l(xiāng)nt＜1，
解得0＜t＜e，
即實數(shù)t的取值范圍是（0，e）
故答案為：（0，e）

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應用，先利用對數(shù)的性質(zhì)將不等式進行化簡是解決本題的突破點．