Question

已知實(shí)數(shù)x，y同時(shí)滿(mǎn)足4-x+27-y=

5

6

，log27y-log4x≥

1

6

，27^y-4^x≤1，則x+y的取值范圍是

{

5

6

}

．

Answer 1

分析：題目給出了一個(gè)等式和兩個(gè)不等式，分析給出的等式的特點(diǎn)，得到當(dāng)x=

1

2

，y=

1

3

時(shí)該等式成立，同時(shí)把相應(yīng)的x和y的值代入后面的兩個(gè)不等式等號(hào)也成立，把給出的等式的左邊變負(fù)指數(shù)冪為正指數(shù)冪，分析x和y的變化規(guī)律，知道y隨x的增大而減小，而當(dāng)x增大y減小時(shí)，兩不等式不成立，因此斷定，同時(shí)滿(mǎn)足等式和不等式的x，y取值唯一，從而可得x+y的取值范圍．

解答：解：當(dāng)x=

1

2

，y=

1

3

時(shí)，
4-x+27-y=4-

1

2

+27-

1

3

=

1

2

+

1

3

=

5

6

，
log27y-log4x=log27

1

3

-log4

1

2

=-

1

3

+

1

2

=

1

6

，
27y-4x=27

1

3

-4

1

2

=3-2=1．
由4-x+27-y=

1

4x

+

1

27y

=

5

6

知，等式右邊一定，左邊y隨x的增大而減小，
而當(dāng)y減小x增大時(shí)，log₂₇y-log₄x＜

1

6

，
當(dāng)x減小y增大時(shí)，27^y-4^x＞1．
均與題中所給條件不等式矛盾．
綜上，只有x=

1

2

，y=

1

3

時(shí)，條件成立，
所以x+y的取值范圍為{

5

6

}．
故答案為{

5

6

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了有理指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值，考查了對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)，考查了特值驗(yàn)證法，培養(yǎng)了學(xué)生的探究能力，此題是中檔題．