Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)f′（x），判斷導(dǎo)數(shù)f′（x）的符號(hào)即可；
（Ⅱ）由g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，知對(duì)?x∈（0，+∞），g'（x）≥0成立，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且f′（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，…1分
①當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；…2分
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＞0，得x＞-a；由f′（x）＜0，得x＜-a；
故f（x）在（0，-a）上單調(diào)遞減，在（-a，+∞）上單調(diào)遞增．…4分
（Ⅱ）g（x）=ax-$\frac{a}{x}$-5lnx，g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
g′（x）=$\frac{{ax}^{2}-5x+a}{{x}^{2}}$…5分
因?yàn)間（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以?x∈（0，+∞），g（x）≥0，
即ax2-5x+a≥0，則a≥$\frac{5x}{{x}^{2}+1}$，
而$\frac{5x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{5}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{5}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，所以a≥$\frac{5}{2}$…8分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)決定函數(shù)的增減．