Question

13．已知A是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左頂點(diǎn)，斜率為k（k＞0）的直線交E與A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA．
（I）當(dāng)|AM|=|AN|時(shí)，求△AMN的面積
（II） 當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí)，證明：$\sqrt{3}$＜k＜2．

Answer 1

分析 （I）依題意知橢圓E的左頂點(diǎn)A（-2，0），由|AM|=|AN|，且MA⊥NA，可知△AMN為等腰直角三角形，設(shè)M（a-2，a），利用點(diǎn)M在E上，可得3（a-2）²+4a²=12，解得：a=$\frac{12}{7}$，從而可求△AMN的面積；
（II）設(shè)直線l_AM的方程為：y=k（x+2），直線l_AN的方程為：y=-$\frac{1}{k}$（x+2），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+2）\\ 3{x}^{2}+4{y}^{2}=12\end{array}\right.$消去y，得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可分別求得|AM|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x_M-（-2）|=$\frac{12\sqrt{1+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$，|AN|=$\frac{12\sqrt{1+{（\frac{1}{k}）}^{2}}}{3+4{（\frac{1}{k}）}^{2}}$=$\frac{12k\sqrt{1+{k}^{2}}}{3{k}^{2}+4}$，
結(jié)合2|AM|=|AN|，可得$\frac{2}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{k}{3{k}^{2}+4}$，整理后，構(gòu)造函數(shù)f（k）=4k³-6k²+3k-8，利用導(dǎo)數(shù)法可判斷其單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可證得結(jié)論成立．

解答 解：（I）由橢圓E的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1知，其左頂點(diǎn)A（-2，0），
∵|AM|=|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN為等腰直角三角形，

∴MN⊥x軸，設(shè)M的縱坐標(biāo)為a，則M（a-2，a），
∵點(diǎn)M在E上，∴3（a-2）²+4a²=12，整理得：7a²-12a=0，∴a=$\frac{12}{7}$或a=0（舍），
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$a×2a=a²=$\frac{144}{49}$；
（II）設(shè)直線l_AM的方程為：y=k（x+2），直線l_AN的方程為：y=-$\frac{1}{k}$（x+2），由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+2）\\ 3{x}^{2}+4{y}^{2}=12\end{array}\right.$消去y得：（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，∴x_M-2=-$\frac{16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，∴x_M=2-$\frac{16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{6-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
∴|AM|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x_M-（-2）|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{6-8{k}^{2}+6+8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{1+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$
∵k＞0，
∴|AN|=$\frac{12\sqrt{1+{（\frac{1}{k}）}^{2}}}{3+4{（\frac{1}{k}）}^{2}}$=$\frac{12k\sqrt{1+{k}^{2}}}{3{k}^{2}+4}$，
又∵2|AM|=|AN|，∴$\frac{2}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{k}{3{k}^{2}+4}$，
整理得：4k³-6k²+3k-8=0，
設(shè)f（k）=4k³-6k²+3k-8，
則f′（k）=12k²-12k+3=3（2k-1）²≥0，
∴f（k）=4k³-6k²+3k-8為（0，+∞）的增函數(shù)，
又f（$\sqrt{3}$）=4×3$\sqrt{3}$-6×3+3$\sqrt{3}$-8=15$\sqrt{3}$-26=$\sqrt{675}$-$\sqrt{676}$＜0，f（2）=4×8-6×4+3×2-8=6＞0，
∴$\sqrt{3}$＜k＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，常用的方法就是聯(lián)立方程求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的關(guān)系，通過(guò)這兩個(gè)關(guān)系的變形去求解，考查構(gòu)造函數(shù)思想與導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定參數(shù)范圍，是難題．