Question

3．已知圓O：x²+y²=1和點(diǎn)M（4，2）．以點(diǎn)M為圓心的圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為$2\sqrt{5}$．
（1）求圓M的方程；
（2）設(shè)P為圓M上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓O引切線，切點(diǎn)為Q，試探究：平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)R，使得$\frac{PQ}{PR}$為定值？若存在，求出該點(diǎn)，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)以點(diǎn)M為圓心的圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$，利用勾股定理即可求出圓M的半徑，根據(jù)圓心和半徑寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）假設(shè)存在這樣的R點(diǎn)，設(shè)出R的坐標(biāo)，并設(shè)出P的坐標(biāo)，根據(jù)圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑得到三角形OPQ為直角三角形，根據(jù)勾股定理表示出PQ的長(zhǎng)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出PR的長(zhǎng)，設(shè)PQ與PR之比等于λ，把PQ和PR的式子代入后兩邊平方化簡(jiǎn)得到一個(gè)關(guān)系式記作（*），又因?yàn)镻在⊙M上，所以把P的坐標(biāo)當(dāng)然到⊙M的方程中，化簡(jiǎn)后代入到（*）中，根據(jù)多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等即可求出R的坐標(biāo)和λ的值．

解答 解：（1）∵以點(diǎn)M為圓心的圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為$2\sqrt{5}$，
∴圓的半徑為r=$\sqrt{5+4}$=3，
∴⊙M的方程為（x-4）²+（y-2）²=9；
（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)R（a，b），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），相應(yīng)的定值為λ，
根據(jù)題意可得PQ=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-1}$，
∴$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-1}}{\sqrt{（x-a）^{2}+（y-b）^{2}}}$=λ，
即x²+y²-1=λ²（x²+y²-2ax-2by+a²+b²）（*），
又點(diǎn)P在圓上∴（x-4）²+（y-2）²=9，
即x²+y²=8x+4y-11，代入（*）式得：
8x+4y-12=λ²[（8-2a）x+（4-2b）y+（a²+b²-11）]，
若系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，則等式恒成立，∴$\left\{\begin{array}{l}{{λ}^{2}（8-2a）=8}\\{{λ}^{2}（4-2b）=4}\\{{λ}^{2}（{a}^{2}+^{2}-11）=-12}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=1，λ=$\sqrt{2}$或a=0.4，b=0.2，λ=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴可以找到這樣的定點(diǎn)R，使得$\frac{PQ}{PR}$為定值．
如點(diǎn)R的坐標(biāo)為（2，1）時(shí)，$\frac{PQ}{PR}$比值為$\sqrt{2}$；點(diǎn)R的坐標(biāo)為（0.4，0.2）時(shí)，比值為$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生掌握直線與圓的位置關(guān)系，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式及點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值，會(huì)根據(jù)圓心坐標(biāo)和圓的半徑寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道綜合題．