Question

已知圓C：（x+1）²+y²=8．
（1）求過點Q（3，0）的圓C的切線l的方程；
（2）如圖，定點A（1，0），M為圓C上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足，求點N的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知所求的切線斜率存在，設其方程為y=k（x-3），由圓心到切線的距離等于半徑可得 ，
解出k值，即得所求的切線方程．
（2）由題意得，NP為AM的垂直平分線，由，可知動點N的軌跡是以點C（-1，0），A（1，0）為焦點的橢圓，且橢圓長軸長為，焦距2c=2，求出b，待定系數法求點N的軌跡（橢圓）的方程．
解答：解：（1）由題意知所求的切線斜率存在，設其方程為y=k（x-3），即kx-y-3k=0；
由圓心到切線的距離等于半徑可得 ，8k²+8=16k²，解得k=±1，
從而所求的切線方程為x-y-3=0，和x+y-3=0．
（2）∵，∴NP為AM的垂直平分線，∴|NA|=|NM|．
又∵，∴．
∴動點N的軌跡是以點C（-1，0），A（1，0）為焦點的橢圓．
且橢圓長軸長為，焦距2c=2．∴．
∴點N的軌跡是方程為．
點評：本題考查點到直線的距離公式的應用，兩個向量的數量積的運算，以及用待定系數法求橢圓的標準方程．