Question

11．P是棱長為2的正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)，則它到該正四面體各個(gè)面的距離之和等于$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 先求出正四面體的體積，利用正四面體的體積相等，求出它到四個(gè)面的距離．

解答 解：因?yàn)檎拿骟w的體積等于四個(gè)三棱錐的體積和，
設(shè)它到四個(gè)面的距離分別為a，b，c，d，
由于棱長為1的正四面體，故四個(gè)面的面積都是 $\frac{1}{2}$×2×2×sin60°=$\sqrt{3}$．
又頂點(diǎn)到底面的投影在底面的中心，此點(diǎn)到底面三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是高的
，又高為2×sin60°=$\sqrt{3}$，
故底面中心到底面頂點(diǎn)的距離都是：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
由此知頂點(diǎn)到底面的距離是 $\sqrt{{2}^{2}-（{\frac{2\sqrt{3}}{3}）}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
此正四面體的體積是 $\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×（a+b+c+d）．
所以：a+b+c+d=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題是中檔題，考查正四面體的體積的計(jì)算，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查空間想象能力，計(jì)算能力．