Question

已知直線l：x=my+1過(guò)橢圓C：，

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F，拋物線x2=4

3

y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，且直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l交y軸于點(diǎn)M，且

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，當(dāng)m變化時(shí)，λ₁+λ₂的值是否為定值？若是，求出這個(gè)定值，若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）求出直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)及拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，則b，c的值可求，結(jié)合a²=b²+c²求得a²的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出A，B坐標(biāo)，聯(lián)立直線和橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B的縱坐標(biāo)的和與積，結(jié)合

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

把λ₁，λ₂用含y₁，y₂ 的代數(shù)式表示，整理后代入根與系數(shù)關(guān)系求得λ₁+λ₂的值是定值．

解答： 解：（1）∵直線l：x=my+1過(guò)頂點(diǎn)（1，0），
∴c=1，
又拋物線x2=4

3

y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

3

），
∴b=

3

．則a²=b²+c²=4．
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）易知m≠0，M(0，-

1

m

)，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

⇒(3m2+4)y2+6my-9=0，
∴△=（6m）²+36（3m²+4）=144（m²+1）＞0，
y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1•y2=-

9

3m2+4

，
又由

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

得：λ1=-1-

1

my1

，λ2=-1-

1

my2

，
∴λ1+λ2=-2-

1

m

•

y1+y2

y1•y2

=-2-

1

m

•

- 6m 3m2+4

- 9 3m2+4

=-2-

2

3

=-

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓方程的求法，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了向量的坐標(biāo)表示法在解題中的應(yīng)用，屬難題．