Question

某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x艘的產值為R（x）=3700x+45x²-10x³（萬元），成本函數(shù)為C（x）=460x+5000（萬元）．又在經濟學中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)Mf（x）定義為M f（x）=f（x+1）-f（x）求：
（1）利潤函數(shù)p（x）及邊際利潤函數(shù)M p（x）；
（2）年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）由“利潤等于收入與成本之差．”可求得利潤函數(shù)p（x），由“邊際函數(shù)為Mf（x），定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）”可求得邊際函數(shù)．
（2）由利潤函數(shù)p（x）是二次函數(shù)，故可以求出函數(shù)p（x）的最大值p（x）_max；邊際利潤函數(shù)為Mp（x）是一次函數(shù)，也可以求出其最大值．
解答：解：（1）p（x）=R（x）-C（x）=-10x³+45x²+3240x-5000（x∈N，且x∈[1，20]），…（3分）
M p（x）=P（x+1）-P（x）=-30x2+60x+3275，（x∈N，且x∈[1，19]），…（6分）
每個定義域（1分）．
（2）P′（x）=-30x²+90x+3240（x∈[1，20]…（7分）
=-30（x+9）（x-12）…（8分）
當1＜x＜12時，P′（x）＞0，P（x）為單調遞增；…（11分）
當12＜x＜20時，P′（x）＜0，P（x）為單調遞減，…（14分）
所以x=12時，p（x）取得最大值，…（15分）
即年造船12艘時，可使公司造船的年利潤最大．…（16分）
沒答或必要的所有扣（1分）．
點評：本題考查了利潤函數(shù)模型的應用，本題中利潤函數(shù)是二次函數(shù)，利用配方法或圖象的對稱軸，都可以得出函數(shù)的最大值，需要注意自變量的取值是正整數(shù)．