已知直角梯形中,是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,.沿將折起,使至處,且;然后再將沿折起,使至處,且面面,和在面的同側(cè).
(Ⅰ) 求證:平面;
(Ⅱ) 求平面與平面所構(gòu)成的銳二面角的余弦值.
(Ⅰ)詳見(jiàn)解析;(Ⅱ)平面與平面所構(gòu)成的銳二面角的余弦值為.
解析試題分析:(Ⅰ)在直角梯形ABCD中,由平面幾何知識(shí),又,可證得平面;(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,利用法向量可求出二面角的余弦值.
試題解析:(Ⅰ)證明:在直角梯形ABCD中,可算得
根據(jù)勾股定理可得,即:,又,平面;
(Ⅱ)以C為原點(diǎn),CE為y軸,CB為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則,,,,作,因?yàn)槊?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/40/7/fdqxx.png" style="vertical-align:middle;" />面,易知,,且,
從平面圖形中可知:,易知面CDE的法向量為
設(shè)面PAD的法向量為,且.
解得
故所求平面與平面所構(gòu)成的銳二面角的余弦值為.
考點(diǎn):1、線面垂直的判定,2、二面角的求法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,四棱錐中,側(cè)面是等邊三角形,在底面等腰梯形中,,,,,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),.
(1)求證:平面平面;
(2)求證:平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在如圖所示的幾何體中,是邊長(zhǎng)為2的正三角形. 若平面,平面平面, ,且
(1)求證://平面;
(2)求證:平面平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示的幾何體ABCDFE中,△ABC,△DFE都是等邊三角形,且所在平面平行,四邊形BCED是邊長(zhǎng)為2的正方形,且所在平面垂直于平面ABC.
(Ⅰ)求幾何體ABCDFE的體積;
(Ⅱ)證明:平面ADE∥平面BCF;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知長(zhǎng)方體中,底面為正方形,面,,,點(diǎn)在棱上,且.
(Ⅰ)試在棱上確定一點(diǎn),使得直線平面,并證明;
(Ⅱ)若動(dòng)點(diǎn)在底面內(nèi),且,請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)的軌跡,并探求長(zhǎng)度的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在幾何體中,平面,,是等腰直角三角形,,且,點(diǎn)是的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為3,,且,、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn),且
(1)證明:無(wú)論在何處,總有;
(2)當(dāng)三棱柱.的體積取得最大值時(shí),求異面直線與所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O為底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
(Ⅰ) 證明: A1C⊥平面BB1D1D;
(Ⅱ) 求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角的大小.
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