Question

已知數列{a_n}中各項為：12、1122、111222、
（1）證明這個數列中的每一項都是兩個相鄰整數的積．
（2）求這個數列前n項之和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）觀察規(guī)律，可得通項公式a_n=（10ⁿ-1）•10ⁿ+（10ⁿ-1）=（）（）
由冪的運算性質可知為整數，從而可得（）（）為整數．
（2）由（1）可知a_n=×10²ⁿ+×10ⁿ-，利用分組求和，分別利用等比數列、等差數列的求和公式即可
解答：解：（1）a_n=（10ⁿ-1）•10ⁿ+（10ⁿ-1）（2分）
=（10ⁿ-1）（10ⁿ+2）=（）（）（4分）
記：A=，則A=為整數
∴a_n=A（A+1），得證（6分）
（2）∵a_n=10²ⁿ+10ⁿ-（8分）
S_n=（10²+10⁴+…+10²ⁿ）+（10+10²+…+10ⁿ）-n
=（10²ⁿ⁺²）+11•10ⁿ⁺¹-198n-210（12分）
點評：本題主要考查了給出數列的項歸納數列的通項公式，分組求和的方法的運用，等比數列的通項公式的基本應用，考查了歸納推理的能力．解決本題的關鍵是歸納數列的通項公式．