Question

20．如圖，矩形ABCD的內(nèi)接Rt△FHE，（H是直角頂點(diǎn)），H是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上．已知AB=2，AD=$\sqrt{3}$，記∠BHE=θ．
（1）試將Rt△FHE的周長(zhǎng)L表示為θ的函數(shù)，并寫出定義域；
（2）當(dāng)θ取何值時(shí)，Rt△FHE的周長(zhǎng)L取最大值，并求出此時(shí)周長(zhǎng)L．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義分別求出EH，F(xiàn)H，利用勾股定理求出EF，即可得出L關(guān)于θ的函數(shù)；
（2）令sinθ+cosθ=t，使用換元法求出L關(guān)于t的函數(shù)，根據(jù)θ的范圍得出t的范圍，從而得出L的最值．

解答 解：（1）在Rt△BEH中，∵BH=$\frac{1}{2}AB=1$，∠BHE=θ，
∴EH=$\frac{1}{cosθ}$，
在Rt△AFH中，AH=1，∠AHF=90°-θ，
∴FH=$\frac{1}{cos（90°-θ）}$=$\frac{1}{sinθ}$，
∵∠EHF=90°，
∴EF=$\sqrt{E{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\frac{1}{sinθcosθ}$．
∵$BE=tanθ≤\sqrt{3}，AF=\frac{1}{tanθ}≤\sqrt{3}$，
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤tanθ≤\sqrt{3}$，
∴$\frac{π}{6}≤$θ≤$\frac{π}{3}$．
∴L=$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{1}{sinθ}$+$\frac{1}{sinθcosθ}$，θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．
（2）由（1）得L=$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{1}{sinθ}$+$\frac{1}{sinθcosθ}$=$\frac{sinθ+cosθ+1}{sinθcosθ}$，
設(shè)sinθ+cosθ=t，則$sinθcosθ=\frac{{{t^2}-1}}{2}$，
∴L=$\frac{t+1}{\frac{{t}^{2}-1}{2}}$=$\frac{2}{t-1}$．
∵θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$t≤$\sqrt{2}$．
當(dāng)t=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$即θ=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$時(shí)，L取得最大值2$\sqrt{3}$+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)解析式的求解，三角函數(shù)的恒等變換與求值，屬于中檔題．