Question

10．已知函數(shù)f（x）=（x-1）[x²+（a+2）x+a-b-2]有3個(gè)零點(diǎn)
（1）a，b滿足的關(guān)系式是a²+4b+12＞0且2a-b+1≠0，
（2）若3個(gè)零點(diǎn)中其中2個(gè)可以作為橢圓和雙曲線的離心率，則a²+b²的取值范圍是（34，+∞）．

Answer 1

分析 （1）由題意，x²+（a+2）x+a-b-2=0有兩個(gè)零點(diǎn)，且不為1，可得a，b滿足的關(guān)系式；
（2）g（x）=x²+（a+2）x+a-b-2，有兩個(gè)分別屬于（0，1），（1，+∞）的零點(diǎn)，可得不等，而a²+b²表示（a，b）到（0，0）的距離，$\left\{\begin{array}{l}{a-b-2=0}\\{2a-b+1=0}\end{array}\right.$，可得a=-3，b=-5，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，可確定a²+b²的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，x²+（a+2）x+a-b-2=0有兩個(gè)零點(diǎn)，且不為1，
∴△=（a+2）²-4（a-b-2）=a²+4b+12＞0且2a-b+1≠0；
（2）g（x）=x²+（a+2）x+a-b-2，有兩個(gè)分別屬于（0，1），（1，+∞）的零點(diǎn)，
故有g(shù)（0）＞0，g（1）＜0，即a-b-2＞0且2a-b+1＜0，
而a²+b²表示（a，b）到（0，0）的距離，$\left\{\begin{array}{l}{a-b-2=0}\\{2a-b+1=0}\end{array}\right.$，可得a=-3，b=-5，
利用線性規(guī)劃的知識(shí)，可確定a²+b²的取值范圍是（34，+∞）．
故答案為：a²+4b+12＞0且2a-b+1≠0；（34，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，考查計(jì)算能力．