Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax+1（a是常數(shù)）在x=0處的切線斜率為-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時，證明e^x＞x²．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)的切線方程的斜率求出a，通過函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為0，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知，f（x）≥f（ln2）=3-2ln2，推出e^x-2x+1＞3-2ln2，構(gòu)造函數(shù)令g（x）=e^x-x²，（x＞0），利用新函數(shù)的單調(diào)性證明e^x＞2x．
法二：利用g（x）=e^x-x²，（x＞0），求出g'（x），構(gòu)造函數(shù)h（x）=g'（x），求解h'（x），然后利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，證明e^x＞2x．

解答： 解：f'（x）=e^x-a，因為f'（0）=-1，所以e⁰-a=-1，即a=2
（Ⅰ）f'（x）=e^x-2，當(dāng)f'（x）=0時x=ln2x的變化，引起f'（x）、f（x）的變化情況如下表

x	（-∞，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑

f（x）_極小值=（ln2）=3-2ln2（如果不列表，需先解導(dǎo)數(shù)值正負(fù)的不等式，得出x的取值范圍，得出單調(diào)性，再得極值也可）
（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知，f（x）≥f（ln2）=3-2ln2，即e^x-2x+1＞3-2ln2
所以e^x-2x＞2-2ln2＞0．
令g（x）=e^x-x²，（x＞0），所以g'（x）=e^x-2x＞0，即g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
所以g（x）＞g（0）=1＞0，即e^x＞2x
法二：g（x）=e^x-x²，（x＞0），g'（x）=e^x-2x，令h（x）=g'（x）=e^x-2x，所以h'（x）=e^x-2，當(dāng)h'（x）=e^x-2＞0時，x＞ln2，當(dāng)h'（x）=e^x-2＜0時，x＜ln2
所以h（x）在（0，ln2）上是減函數(shù)，在（ln2，+∞）上是增函數(shù)，所以h（x）＞h（ln2）=2-ln2＞0，所以g'（x）=e^x-2x＞0，即g（x）g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，所以g（x）＞g（0）=1＞0，即e^x＞2x

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的切線方程以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷極值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．