Question

如圖所示，已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=3，AB=AA₁=4，M是A₁B₁的中點(diǎn)．
（1）求BM與平面ACD₁所成的角；
（2）求點(diǎn)M到平面ACD₁的距離．

Answer 1

解 （1）按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為D（0，0，0）、A（3，0，0）、B（3，4，0），C（0，4，0），A₁（3，0，4），B₁（3，4，4），D₁（0，0，4），M（3，2，4），進(jìn)一步有．
設(shè)平面ACD₁的法向量為，則，即．取z=3，得x=4，y=3．
所以平面ACD₁的一個(gè)法向量為．
記，
于是，，．
所以，直線BM與平面ACD₁所成角為．
（2）記點(diǎn)M到平面ACD₁的距離為d．
由（1）知，平面ACD₁的一個(gè)法向量為，，
于是，．
所以點(diǎn)M到平面ACD₁的距離為．
分析：（1）首先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出向量的坐標(biāo)和平面ACD₁的法向量，最后求與的夾角的余弦值，取絕對(duì)值后即為線面角的正弦值
（2）由（1）知平面ACD₁的法向量，再求向量的坐標(biāo)，最后求在方向上的投影的長(zhǎng)度即為M到平面ACD₁的距離
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用空間向量解決立體幾何問題的方法和思路，解題時(shí)要學(xué)會(huì)熟練的求平面的法向量，并體會(huì)空間線面角、面面角是怎樣轉(zhuǎn)化為線線角的．