Question

5．點(diǎn)P為△ABC平面上一點(diǎn)，有如下三個(gè)結(jié)論：
②若$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，則點(diǎn)P為△ABC的重心；
②若sinA•$\overrightarrow{PA}$+sinB$\overrightarrow{PB}$+sinC•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，則點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心；
③若sin2A•$\overrightarrow{PA}$+sin2B•$\overrightarrow{PB}$+sin2C•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，則點(diǎn)P為△ABC的外心．
回答以下兩個(gè)小問：
（1）請(qǐng)你從以下四個(gè)選項(xiàng)中分別選出一項(xiàng)，填在相應(yīng)的橫線上．
A．重心  B．外心  C．內(nèi)心  D．重心
（2）請(qǐng)你證明結(jié)論③

Answer 1

分析 （1）直接由已知條件逐個(gè)加以判斷；
（2）先證明兩個(gè)引理：引理1：點(diǎn)P為△ABC平面上一點(diǎn)，則滿足條件$x\overrightarrow{PA}+y\overrightarrow{PB}+z\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$ （x，y，z不全為零）的點(diǎn)P是唯一的，引理2：若點(diǎn)P為△ABC的外心，則sin2A•$\overrightarrow{PA}$+sin2B•$\overrightarrow{PB}$+sin2C•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，把引理1和引理2結(jié)合起來，可得結(jié)論．

解答 （1）解：A重心，C內(nèi)心，B外心；
（2）證明：首先證明兩個(gè)引理：
引理1：點(diǎn)P為△ABC平面上一點(diǎn)，則滿足條件$x\overrightarrow{PA}+y\overrightarrow{PB}+z\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$ （x，y，z不全為零）的點(diǎn)P是唯一的．
證明：假設(shè)還有一點(diǎn)Q滿足$x\overrightarrow{QA}+y\overrightarrow{QB}+z\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{0}$，則有$x\overrightarrow{QP}+y\overrightarrow{QP}+z\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{0}$，
即$（x+y+z）\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{0}$，可得$\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{0}$，∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，∴點(diǎn)P是唯一的．
引理2：若點(diǎn)P為△ABC的外心，則sin2A•$\overrightarrow{PA}$+sin2B•$\overrightarrow{PB}$+sin2C•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$．
證明：∵2sin2Asin2Bcos2C+2sin2Bsin2Ccos2A+2sin2Csin2Acos2B
=sin2Asin（2B+2C）+sin2Bsin（2C+2A）+sin2Csin（2A+2B）
=-sin²2A-sin²2B-sin²2C，
∴設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，則$（sin2A•\overrightarrow{PA}+sin2B•\overrightarrow{PB}+sin2C•\overrightarrow{PC}）^{2}$
=r²•（sin²2A+sin²2B+sin²2C+2sin2Asin2Bcos2C+2sin2Bsin2Ccos2A+2sin2Csin2Acos2B）=0，
即：$sin2A•\overrightarrow{PA}+sin2B•\overrightarrow{PB}+sin2C•\overrightarrow{PC}$=0
把引理1和引理2結(jié)合起來，可知結(jié)論③成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的基本定理，記住三角形內(nèi)一點(diǎn)的一般結(jié)論是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．