Question

如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，垂足為，在上且，，，是的中點，四面體的體積為.

（1）求過點P，C，B，G四點的球的表面積；

（2）求直線到平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在一點，使，若存在，確定點的位置，若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

試題分析：（1）首先由四面體的體積可以求出高.

因為兩兩垂直，所以以為同一頂點的三條棱構(gòu)造長方體，長方體的外接球即為過點P，C，B，G四點的球，其直徑就是長方體的體對角線.

（2）由于面面，所以只需在面ABCD內(nèi)過點D作交線BG的垂線，即可得PD在面PBG內(nèi)的射影，從而得PD與面PBG所成的角. （3）首先假設存在，然后確定的位置，若能在上找到點使則說明這樣的點F存在.與是異面的兩條直線，我們通過轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化這相交的兩條直線的垂直問題.那么如何轉(zhuǎn)化？過作交GC于，則只要即可.這樣確定的位置容易得多了.

試題解析：（1）由四面體的體積為.∴.

以構(gòu)造長方體，外接球的直徑為長方體的體對角線。

∴∴

∴                3分

（2）由

∴為等腰三角形，GE為的角平分線，作交BG的延長線于K,

∴

由平面幾何知識可知： ，.設直線與平面所成角為

∴                      8分

（3）假設存在，過作交GC于，則必有.因為，且，所以，又.

∴當時滿足條件                    12分

考點：1、多面體的外接球及其表面積；2、線線與平面所成的角；3、異面直線的垂直.