Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC= ，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，M為PA的中點，N為BC的中點

（1）證明：直線MN∥平面PCD；
（2）求異面直線AB與MD所成角的余弦值；
（3）求點B到平面PCD的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取PD的中點Q，連接QM，QC．

∵QM∥AD，AD∥CN，∴MQ∥CN，又MQ=CN= AD．

∴四邊形MNCQ是平行四邊形．

∴NM∥QC，又MN平面PCD，CQ平面PCD，

∴MN∥平面PCD

（2）解：∵CD∥AB，∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補角）．

∵∠ABC= ，∴AC=CD=AD=2，

∵PA⊥平面ABCD，∴MA⊥AC，MA⊥AD．

又MA=1，AC=AD=2，MC=MD= ．

CD=2，∴cos∠MDC= = ．

∴AB與MD所成角余弦值為

（3）解：∵AB∥平面PCD，∴點A和點B到平面PCD的距離相等．

取CD的中點E，連接AE，PE，過A作AH⊥PE，垂足為H．

∠ABC= ，∴AC=CD=AD，∴AE⊥CD．

∵PA⊥平面ABCD，PA⊥CD，∴CD⊥平面PAE，∴CD⊥PA．

∵CD⊥平面PAE，∴CD⊥AH，∴AH⊥平面PCD，

∴AH即為點B到平面PCD的距離．

∵PA=2，AE= ，PA⊥AE，∴AH= = ．

【解析】（1）取PD的中點Q，連接QM，QC．利用三角形中位線定理與平行四邊形的判定與性質(zhì)定理可得NM∥QC，再利用線面平行的判定定理即可判斷出結(jié)論．（2）由CD∥AB，可得∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補角），在△MDC中利用余弦定理即可得出．（3）由AB∥平面PCD，可得點A和點B到平面PCD的距離相等．取CD的中點E，連接AE，PE，過A作AH⊥PE，垂足為H．在△PAE中，利用三角形面積計算公式即可得出．
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角和直線與平面平行的判定的相關(guān)知識點，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．