Question

11．已知平面上的點O，A，B，C滿足|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=2，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=0，則|$\overrightarrow{OC}$|的最大值為$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，設(shè)出A，B坐標(biāo)分別為 A（2，0），B（2cosα，2sinα），把|$\overrightarrow{OC}$|轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的三角函數(shù)，然后借助于基本不等式求得最值．

解答 解：如圖，AB是以O(shè)為圓心，半徑為2的圓的動弦，
由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=0，得$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BC}$，∴點C是以AB為直徑的圓上的動點（記圓心為D，半徑為r），
∴|$\overrightarrow{OC}$|的最大值為：|$\overrightarrow{OD}$|+r=|$\overrightarrow{OD}$|+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|，
以O(shè)為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則 A（2，0），
設(shè)B（2cosα，2sinα），則D（1+cosα，sinα），
∴|$\overrightarrow{OD}$|+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{（1+cosα）^{2}+si{n}^{2}α}+\frac{1}{2}\sqrt{（2cosα-2）^{2}+（2sinα）^{2}}$
=$\sqrt{2+2cosα}+\sqrt{2-2cosα}$$≤\sqrt{2[（\sqrt{2+2cosα}）^{2}+（\sqrt{2-2cosα}）^{2}}$=$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)2+2cosα=2-2cosα，即cosα=0，也就是$α=\frac{π}{2}$時取最大值，
故答案為：$2\sqrt{2}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．