Question

【題目】已知函數(shù)(，).

（1）當(dāng)時，若函數(shù)在上有兩個零點，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時，是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值集合；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）存在，的取值集合為.

【解析】

（1）將代入，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時顯然不成立，當(dāng)時，利用零點的存在定理，即可求解的結(jié)論；

（2）當(dāng)時，設(shè)，由，進(jìn)而條件轉(zhuǎn)化為不等式對恒成立，得到是函數(shù)的最大值，也是函數(shù)的極大值，故，當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)得到不等式恒成立，即可求解.

（1）當(dāng)時，，()，

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，不合題意，舍去；

當(dāng)時，，，

進(jìn)而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

依題意有，，，解得，

又，且，在上單調(diào)遞增，

進(jìn)而由零點存在定理可知，函數(shù)在上存在唯一零點；

下面先證()恒成立，令，則，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

進(jìn)而，∴，∴，

可得，

若，得，

因為，則，即當(dāng)時，取，有，

即存在使得，

進(jìn)而由零點存在定理可知在上存在唯一零點；

（2）當(dāng)時，存在，使得不等式恒成立.

證明如下：

當(dāng)時，設(shè)，則，

依題意，函數(shù)恒成立，

又由，進(jìn)而條件轉(zhuǎn)化為不等式對恒成立，

所以是函數(shù)的最大值，也是函數(shù)的極大值，故，解得.

當(dāng)時，()，

令可得，令可得.

故在上遞增，在上遞減.

因此，即不等式恒成立.

綜上，存在且的取值集合為.