Question

7．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，G為三角形的重心，且滿足$\sqrt{3}$（a$\overrightarrow{GA}$+b$\overrightarrow{GB}$）+c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，則角C=（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 120°

Answer 1

分析 可畫出圖形，根據(jù)重心性質(zhì)及向量加法平行四邊形法則，以及向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義、向量數(shù)乘的運算便可得出$\overrightarrow{GA}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{GB}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}）$，$\overrightarrow{GC}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}）$，從而帶入$\sqrt{3}（a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}）+c\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$并整理可得$（\frac{2\sqrt{3}b}{3}-\frac{\sqrt{3}a}{3}）\overrightarrow{AB}-（\frac{\sqrt{3}a}{3}+\frac{\sqrt{3}b}{3}）\overrightarrow{AC}$=$\frac{c}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2c}{3}\overrightarrow{AC}$．從而根據(jù)平面向量基本定理可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2\sqrt{3}b}{3}-\frac{\sqrt{3}a}{3}=\frac{c}{3}}\\{\frac{\sqrt{3}a}{3}+\frac{\sqrt{3}b}{3}=\frac{2c}{3}}\end{array}\right.$，兩式聯(lián)立即可得到$a=b，c=\sqrt{3}a$，從而求出$cosC=-\frac{1}{2}$，這樣便可得出角C的大小．

解答 解：如圖，根據(jù)題意：

$\overrightarrow{GA}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{GB}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）=-\frac{1}{3}（-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}）$，$\overrightarrow{GC}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}）=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}）$，
代入$\sqrt{3}（a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}）+c\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$整理得：
$（\frac{2\sqrt{3}b}{3}-\frac{\sqrt{3}a}{3}）\overrightarrow{AB}-（\frac{\sqrt{3}a}{3}+\frac{\sqrt{3}b}{3}）\overrightarrow{AC}$=$\frac{c}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2c}{3}\overrightarrow{AC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2\sqrt{3}b}{3}-\frac{\sqrt{3}a}{3}=\frac{c}{3}}&{①}\\{\frac{\sqrt{3}a}{3}+\frac{\sqrt{3}b}{3}=\frac{2c}{3}}&{②}\end{array}\right.$；
①×2-②并整理得a=b，∴$c=\sqrt{3}a$；
∴$cosC=\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{{a}^{2}+{a}^{2}-3{a}^{2}}{2{a}^{2}}=-\frac{1}{2}$；
又0°＜C＜180°；
∴C=120°．
故選D．

點評 考查三角形重心的概念及性質(zhì)，向量加法的平行四邊形法則，向量加法、減法及數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運算，平面向量基本定理，余弦定理，已知三角函數(shù)值求角．