已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為實數(shù),a≠0),定義域D:[-1,1]
(1)當a=1,b=-1時,若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)恒小于零,求c的取值范圍;
(2)當a=1,常數(shù)b<0時,若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)恒不為零,求c的取值范圍;
(3)當b>2a>0時,在D上是否存在x,使得|f(x)|>b成立?(要求寫出推理過程)
【答案】
分析:(1)a=1,b=-1y=x
2-x+c<0在[-1,1]恒成立,則-c>x
2-x在[-1,1]上恒成立,令g(x)=x
2-x,x∈[-1,1],-c>g(x)
max可求
(2)a=1,b<0,f(x)=x
2+bx+c≠0在[-1,1]上恒成立?-c≠h(x)=x
2+bx在[-1,1]上恒成立,結(jié)合函數(shù)h(x)的范圍可求c得范圍
(3)假設在D上存在x,使得|f(x)|>b成立則只要|f(x)|
max>b即可
解答:解:(1)a=1,b=-1y=x
2-x+c<0在[-1,1]恒成立
則-c>x
2-x在[-1,1]上恒成立
令g(x)=x
2-x,x∈[-1,1],則可得g(x)
max=2
則-c>2即c<-2
(2)a=1,b<0,f(x)=x
2+bx+c≠0在[-1,1]上恒成立?-c≠h(x)=x
2+bx在[-1,1]上恒成立,
而函數(shù)h(x)=x
2+bx的對稱軸x=
>0
(當
b<-2,函數(shù)g(x)在[-1,1]單調(diào)遞減,則可得g(1)≤g(x)≤g(-1),即1+b≤g(x)≤1-b
所以,-c>1-b或-c<1+b 所以c<b-1或c>-1-b
(II)當
即2≤b<0時,
,即
所以
所以,
(3)假設在D上存在x,使得|f(x)|>b成立則只要|f(x)|
max>b即可
由于b>2a>0,則對稱軸x=-
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得|f(x)|的最大值=max{||f(1)|,|f(-1)|}
|a+b+c|>b或|a-b+c|>b
從而可得,存在實數(shù)滿足條件
點評:本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的應用,解題的關(guān)鍵是熟練掌握并能靈活利用二次函數(shù)的性質(zhì)及一定的推理與運算的能力