Question

11．在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，若△PAC為正三角形且邊長為2，則三棱錐P-ABC外接球的體積為（　�。�

• A． π
• B． $\frac{32\sqrt{3}}{27}$π
• C． $\frac{3}{4}$π
• D． $\frac{32}{27}$π

Answer 1

分析 取AC的中點O′，確定AC為△ABC外接圓的直徑，球心O在PO′上，利用勾股定理建立方程求出球的半徑，即可求出三棱錐P-ABC外接球的體積．

解答 解：取AC的中點O′，則PO′⊥AC，PO′=$\sqrt{3}$
∵AB⊥BC，
∴AC為△ABC外接圓的直徑，
∴球心O在PO′上，
設(shè)球的半徑為R，則R²=1²+（$\sqrt{3}$-R）²，
∴R=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∴三棱錐P-ABC外接球的體積為$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{4}{3}π•（\frac{2}{\sqrt{3}}）^{3}$=$\frac{32\sqrt{3}}{27}$π．
故選：B．

點評 本小題主要考查球的內(nèi)接幾何體的相關(guān)計算問題，對考生的空間想象能力與運算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想都提出很高要求，本題是一道綜合題．