Question

15．已知函數(shù)f（x）=${log_{\frac{1}{2}}}|{sin（x-\frac{π}{4}）}$|．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）判定f（x）的奇偶性，并求出它的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的定義域和值域．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，復合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律，求得f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$|sin（x-$\frac{π}{4}$）|，∴sin（x-$\frac{π}{4}$）≠0，∴x-$\frac{π}{4}$≠kπ，即 x≠kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
即函數(shù)的定義域為{x|x≠kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z}．
∵|sin（x-$\frac{π}{4}$）|∈（0，1]，∴數(shù)f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$|sin（x-$\frac{π}{4}$）|≥0，故函數(shù)的值域為[0，+∞）．
（2）函數(shù)的定義域為{x|x≠kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z} 不關于原點對稱，故該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．
當kπ＜x-$\frac{π}{4}$≤kπ+$\frac{π}{2}$時，即x∈（kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$]時，|sin（x-$\frac{π}{4}$）|單調(diào)遞增，f（x）單調(diào)遞減，
故函數(shù)的減區(qū)間為（kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$]．
當kπ+$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{4}$＜kπ+π時，即x∈[kπ+$\frac{3π}{4}$，kπ+$\frac{5π}{4}$）時，|sin（x-$\frac{π}{4}$）|單調(diào)遞減，f（x）單調(diào)遞增，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ+$\frac{3π}{4}$，kπ+$\frac{5π}{4}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的單調(diào)性，復合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．