Question

已知函數(shù).

（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若,對(duì)都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）證明：（且）.

 

Answer 1

【答案】

（I）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）.當(dāng)m>0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，+∞）. （Ⅱ）實(shí)數(shù)的取值范圍為.（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（I）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.遵循“求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大（�。┯�0，解不等式，求單調(diào)區(qū)間”.

（Ⅱ）將問題轉(zhuǎn)化成“對(duì)都有”，

通過求，得到函數(shù)在[2,2]上是增函數(shù)，

求得=g(2)=2-,利用2-，及得到實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（Ⅲ）通過構(gòu)造函數(shù)，利用（I）確定的單調(diào)性得到，（當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)），利用“錯(cuò)位相減法”求得S=

證得（）.

試題解析：（I）          1分

當(dāng)時(shí)，在（0，+∞）單調(diào)遞增.        2分

當(dāng)m>0時(shí)，由得    

由得

由得>        4分

綜上所述：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）.

當(dāng)m>0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，+∞）.      5分

（Ⅱ）若m=, ,對(duì)都有成立等價(jià)于對(duì)都有  6分

由（I）知在[2,2]上的最大值=  7分

函數(shù)在[2,2]上是增函數(shù)，

=g(2)=2-,     9分

由2-，得，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092600203490669779/SYS201309260021186997673395_DA.files/image017.png">，∴∈

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.      10分

（Ⅲ）證明：令m=，則

由（I）知f(x)在（0,1）單調(diào)遞增，（1，+∞）單調(diào)遞減，

，（當(dāng)x=1時(shí)取“=”號(hào)）

       11分

<         12分

令S=        ①

2S=  ②

①-②得-S=

S=

（）         14分

考點(diǎn)：1、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、2、最值、證明不等式，3、“錯(cuò)位相減法”.