Question

對(duì)于數(shù)列{u_n}若存在常數(shù)M＞0，對(duì)任意的n∈N*，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…+|u₂-u₁|≤M，則稱數(shù)列{u_n}為B-數(shù)列。
（1）首項(xiàng)為1，公比為q（|q|＜1）的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由；
請(qǐng)以其中一組的一個(gè)論斷條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題，判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；
（2）設(shè)S_n是數(shù)列{x_n}的前n項(xiàng)和，給出下列兩組論斷；
A組：①數(shù)列{x_n}是B-數(shù)列②數(shù)列{x_n}不是B-數(shù)列
B組：③數(shù)列{S_n}是B-數(shù)列④數(shù)列{S_n}不是B-數(shù)列
請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題。判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；
（3）若數(shù)列{a_n}，{b_n}都是B-數(shù)列，證明：數(shù)列{a_nb_n}也是B-數(shù)列。

Answer 1

解：（1）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為{a_n}，則，
于是，
因此，
因?yàn)閨q|＜1，
所以，，
即，
故首項(xiàng)為1，公比為q（|q|＜1）的等比數(shù)列是B-數(shù)列。
（2）命題1：若數(shù)列{x_n}是B-數(shù)列，則數(shù)列{S_n}是B-數(shù)列，此命題為假命題。
事實(shí)上，設(shè)，
易知數(shù)列{x_n}是B-數(shù)列，但，
，
由n的任意性知，數(shù)列{S_n}是B-數(shù)列此命題為假命題。
命題2：若數(shù)列{S_n}是B-數(shù)列，則數(shù)列{x_n}是B-數(shù)列，此命題為真命題，
事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)列{S_n}是B-數(shù)列，
所以存在正數(shù)M，對(duì)任意的n∈N*，
有，
即，
于是
，
所以數(shù)列{x_n}是B-數(shù)列。
（3）若數(shù)列{a_n}{b_n}是B-數(shù)列，則存在正數(shù)，對(duì)任意的n∈N*，
有，
，
注意到
，
同理：，
記，則有

，
因此
，
故數(shù)列{a_nb_n}是B-數(shù)列。