Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）若|

BA

-

BC

|=2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知的等式，變形后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，再利用誘導公式變形，根據(jù)sinA不為0求出cosB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的大小；
（Ⅱ）利用平面向量的運算法則化簡已知等式求出b的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，將b，cosB的值代入，并利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形的面積公式即可確定出三角形ABC面積的最大值．

解答：解：（I）根據(jù)正弦定理化簡（2a-c）cosB=bcosC，得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB，
∴2sinAcosB=sin（C+B），即2sinAcosB=sinA，
∵sinA＞0，∴cosB=

1

2

，
又∵B∈（0，π），∴B=

π

3

；
（II）∵|

BA

-

BC

|=2，
∴|

CA

|=2，即b=2，
根據(jù)余弦定理b²=a²+c²-2accosB，有4=a²+c²-ac，
∵a²+c²≥2ac（當且僅當a=c=2時取“=”號），
∴4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤4，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

，
則當a=b=c=2時，△ABC的面積的最大值為

3

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，基本不等式的運用，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．