Question

12．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求三棱錐C₁-B₁CD的體積．

Answer 1

分析 （1）取A₁B₁的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，DE，C₁E，則四邊形CDEC₁，ADB₁E是平行四邊形，故而CE₁∥CD，AE∥B₁D，于是平面AC₁E∥平面CDB₁，所以AC₁∥平面CDB₁．
（2）由勾股定理的逆定理得出AC⊥BC，由CC₁⊥平面ABC得出AC⊥C₁C，故AC⊥平面BCC₁B₁，于是D到平面BCC₁B₁的距離為$\frac{1}{2}AC$．

解答 解：（1）取A₁B₁的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，DE，C₁E，
則DE$\stackrel{∥}{=}C{C}_{1}$，AD$\stackrel{∥}{=}$B₁E，
∴四邊形CDEC₁，ADB₁E是平行四邊形，
∴CE₁∥CD，AE∥B₁D，
又C₁E?平面AC₁E，AE?平面AC₁E，CD?平面CDB₁，DB₁?平面CDB₁，C₁E∩AE=E，CD∩DB₁=D，
∴平面AC₁E∥平面CDB₁，∵AC₁?平面AC₁E，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（2）∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，即AC⊥BC．
∵CC₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AC⊥C₁C，又C₁C∩BC=C，C₁C?平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥平面BCC₁B₁，
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴D到平面BCC₁B₁的距離h=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$．
∴V${\;}_{{C}_{1}-{B}_{1}CD}$=V${\;}_{D-{C}_{1}C{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△C{C}_{1}{B}_{1}}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×\frac{3}{2}$=4．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．