Question

已知函數(shù)f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù),且對于任意實(shí)數(shù)a,b∈R,滿足:
(ab)= a(b)+b(a), (2)="2," a_n=(n∈N^*), b_n=(n∈N^*).
考察下列結(jié)論: ①(0)= (1); ②(x)為偶函數(shù); ③數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列; ④數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列.其中正確的結(jié)論共有( 　)

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

C

解析試題分析：令,再令,所以有(0)= (1)知①正確;令,從而令故知(x)為奇函數(shù),故知②錯誤;對于③,由于(2)=2,所以;從而,猜想…，成等比數(shù)列且,用數(shù)學(xué)歸納法可證明此結(jié)論:對于n=1時，猜想顯然成立；假設(shè)當(dāng)時，猜想正確，即，從而，那么當(dāng)時，
這就是說當(dāng)時猜想也成立，故，故③正確;對于④,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d4/0/qlkq62.png" style="vertical-align:middle;" />,所以數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列,故④正確.由此可知①③④正確，故選C.
考點(diǎn)：1.函數(shù)的性質(zhì);2.等差數(shù)列與等比數(shù)列.