Question

（2011•廣安二模）命題“若過雙曲線

x2

3

-y2=1的一個焦點F作與X軸不垂直的直線交雙曲線于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則

|AB|

|FM|

為定值，且定值為

3

”．
（1）試類比上述命題，寫出一個關(guān)于拋物線y²=4x的類似的正確命題，并加以證明；
（2）試推廣（1）中的命題，給出關(guān)于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統(tǒng)一的一般性命題（不證明）．

Answer 1

分析：（1）先寫出類似命題（先取一條特殊直線，找到定值）；再設出直線方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程求出A，B兩點的坐標與直線方程的系數(shù)之間的關(guān)系，并求出A，B中點坐標，進而求出AB的垂直平分線方程以及點M的坐標；最后求出|AB|以及|FM|的長即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)上面的兩個命題找到其共同點：過圓錐曲線E的一個焦點F作與x軸不垂直的直線交曲線E于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸與點M，則

|AB|

|FM|

為定值；再結(jié)合上面的兩個命題分析出定值的寫法即可．

解答：解：（1）關(guān)于拋物線C的類似命題是：過拋物線y²=4x的焦F（1，0）點作與x軸不垂直的直線交拋物線于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸與點M，則

|AB|

|FM|

為定值，且定值為2．
證明：由已知可設直線l的方程為x=my+1（m≠0）：
由

y2=4x x=my+1

消去x得y²-4my-4=0
△=16（m²+1）＞0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B中點N（x₀，y₀）  則y₁+y₂=4m．
∴y₀=2m，x₀=2m²+1
∴N（2m²+1，2m）
∴AB的垂直平分線方程為y-2m=-m（x-2m²-1）：
令y=0，解得x=2m²+3．
所以M（2m²+3，0），故|FM|=2（m²+1）．
|AB|=

1+m2

|y1-y2|=

1+m2

(y1+y2) 2-4y1y2

=4（1+m²）
∴

|AB|

|FM|

=2．
（2）過圓錐曲線E的一個焦點F作與x軸不垂直的直線交曲線E于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸與點M，則

|AB|

|FM|

為定值．且定值為

2

e

．

點評：本題是對直線與圓錐曲線問題的綜合考查．解決本題的關(guān)鍵在于設出直線方程，并聯(lián)立直線方程與曲線方程求出兩交點之間的距離以及對應的垂直平分線方程．