Question

8．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，點(diǎn)E是A₁C₁的中點(diǎn)．求證：
（1）BE⊥AC；
（2）BE∥平面ACD₁．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出BA₁=BC₁，點(diǎn)E是A₁C₁的中點(diǎn)，從而BE⊥A₁C₁，由此能證明BE⊥AC．
（2）連結(jié)B₁D₁，交A₁C₁于點(diǎn)E，連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OD₁，推導(dǎo)出四邊形BED₁O是平行四邊形，由此能證明BE∥平面ACD₁．

解答 證明：（1）∵在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形
∴BA₁=BC₁，
∵點(diǎn)E是A₁C₁的中點(diǎn)，
∴BE⊥A₁C₁，
∵AC∥A₁C₁，∴BE⊥AC．
（2）連結(jié)B₁D₁，交A₁C₁于點(diǎn)E，連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OD₁，
∵在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形
∴D₁E$\underset{∥}{=}$BO，∴四邊形BED₁O是平行四邊形，
∴BE∥OD₁，
∵OD₁?平面ACD₁，BE?平面ACD₁，

∴BE∥平面ACD₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．