Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點A，△AF₁F₂為正三角形，以線段F₁F₂為直徑的圓與直線y═

3

x-4相切．

（1）求橢圓C的方程和離心率．

（2）若點P為焦點F₁關于直線x=-

5

2

的對稱點，動點M滿足

|MF1|

|MF2|

=e，問是否存在一定點T，使得動點M到定點T的距離為定值？若存在，求出定點T的坐標及此定值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知條件推導出c=d=

|-4|

3+1

=2，a=2c=4，由此能求出橢圓C的方程和離心率．
（2）由已知條件推導出P（-3，0），設M（x，y），由推導出

(x+2)2+y2

(x+3)2+y2

=

1

2

，由此能求出定點T的坐標和定值．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點A，
以線段F₁F₂為直徑的圓與直線y=

3

x-4相切，
∴c=d=

|-4|

3+1

=2
∵△AF₁F₂為正三角形，
∴a=2c=4，∴b²=4²-2²=12，
∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1，
離心率e=

c

a

=

1

2

．
（2）∵點P為焦點F₁（-2，0）關于直線x=-

5

2

的對稱點，
∴P（-3，0），
設M（x，y），∵動點M滿足

|MF1|

|MF2|

=e=

1

2

，
∴

(x+2)2+y2

(x+3)2+y2

=

1

2

，整理，得（x+

5

3

）²+y²=

4

9

，
∴定點T的坐標為（-

5

3

，0），
使得動點M到定點T的距離為定值

2

3

．

點評：本題考查橢圓方程和離心率的求法，考查滿足條件的點的判斷，解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運用．