Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程
（2）若對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，有f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=1時，求f（x）的導函數(shù)，計算曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率k，寫出該點處的切線方程；
（2）由題意設g（x）=f（x）+2x，（x＞0），g（x）應是增函數(shù)，即g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求出a的取值范圍．

解答：解：（1）a=1時，f（x）=x²-3x+lnx，f（1）=-2，
∴f′(x)=2x-3+

1

x

，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率k=f'（1）=0；
所以在點（1，f（1））處的切線方程為 y=-2；
（2）令g（x）=f（x）+2x=ax²-ax+lnx，（x＞0）；
由題意知g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，所以g'（x）=2ax-a+

1

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，即2ax²-ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立；
令h（x）=2ax²-ax+1，（x＞0）；
則①若a=0，h（x）=1≥0恒成立，
②若a＜0，二次函數(shù)h（x）≥0不恒成立，舍去
③若a＞0，二次函數(shù)h（x）≥0恒成立，只需滿足最小值h(

1

4

)≥0，即

a

8

-

a

4

+1≥0，解得0＜a≤8；
綜上，a的取值范圍是[0，8]．

點評：本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)圖象上過某點切線方程的斜率以及應用導數(shù)判定函數(shù)的增減性問題，是中檔題．