Question

21．已知正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓是的內(nèi)接圓（點(diǎn)為圓心）

（I）求圓的方程；

（II）設(shè)圓的方程為，過(guò)圓上任意一點(diǎn)分別作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，求的最大值和最小值．

Answer 1

（I）解法一:設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(,y₁),( ,y₂),由題設(shè)知=

=,

解得y₁²=y₂²=12,

所以A(6,2),B(6,－2))或A(6,－2),B(6,2).

設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(r,0),則r=×6=4.

因此圓C的方程為(x－4)²+y²=16.                                       

解法二:設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂),

由題設(shè)知x₁²+y₁²=x₂²+y₂².

又因?yàn)?I>y₁²=2x₁,y₂²=2x₂,可得x₁²+2x₁=x₂²+2x₂,即(x₁－x₂)(x₁+x₂+2)=0.

由x₁＞0,x₂＞0,可知x₁=x₂,故A、B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱.所以圓心C在x軸上.

設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(r,0),則A點(diǎn)坐標(biāo)為(r, r),于是有(r)²=2×r,解得r=4.

所以圓C的方程為(x－4)²+y²=16.                                              

(II)解:設(shè)∠ECF=2,則

·=||·||·cos2=16cos2=32cos²－16.           

在Rt△PCE中,cos=.

由圓的幾何性質(zhì),得

|PC|≤|MC|+1=7+1=8,|PC|≥|MC|－1=7－1=6.                      

所以≤cos≤.

由此可得－8≤·≤－.

故·的最大值為－,最小值為－8.